拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线 y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用...
拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化,而且用纯分析方法进行推理,成为拉格朗日方法。他首先引入广义坐标概念,故广义坐标又称为拉格朗日坐标。一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1,2,…,N)表示;qj= dqj/dt为相应的广义速度。力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj·qj和时间t的函数后,...
变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。 欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于...
变分法是数学中的一种优化方法，主要用于求解极值问题。其基本原理可以追溯到欧拉-拉格朗日方程和哈密顿原理。首先，我们来看欧拉-拉格朗日方程。在物理学中，一个系统的运动状态通常由位置函数和速度函数来描述。然而，这两个函数并不能唯一确定系统的状态，因为还存在时间这个参数。为了消除这种不确定性，...
变分是一个趋于零的无穷小量，因此需要的关系式变为 这便是欧拉-拉格朗日方程的表达式。也就是对函数使其泛函在处于极值下的要求。公式能不能简单理解 感觉不太能。一开始想尝试好多思路去使用简单的比喻的方式，或者是直觉化的思路去理解这个公式，但想不太清楚。“两点之间直线最短”这种简单直觉所能...
理论力学探秘：揭示拉格朗日量的神秘特性与重要性 在理论力学的璀璨星河中，拉格朗日量如同一颗璀璨的明珠，它承载着自然系统运行的奥秘。我们已经熟知，它遵循着最小作用量原理，是通过E-L方程来塑造系统的动态行为[1]。从牛顿力学到分析力学的桥梁上，我们了解到拉格朗日量的本质是系统动能与势能之差[2][...
通过对拉格朗日函数进行变分操作，利用变分原理，可以得到描述系统运动的欧拉-拉格朗日方程。这个方程的核心思想是，通过对拉格朗日函数的一阶变分来描述系统在时间上的运动。在这个方程中，左侧的项表示了广义坐标的变化率，右侧的项表示了拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。欧拉-拉格朗日方程表达了系统对应运动轨迹...
从变分原理的角度看，欧拉方程和拉格朗日方程都是基于哈密顿原理的。哈密顿原理指出，物体的运动轨迹是使得作用量S取极值的轨迹，其中作用量S定义为：S = ∫L dt 对于旋转刚体，我们可以选择拉格朗日量为L = T - V，并将运动轨迹用姿态角度表示。通过求解δS = 0，我们可以得到欧拉方程。而对于一般...
哈密顿系统可以被理解为时间R上的纤维丛E，其中每个时间t的纤维Et代表位置空间。拉格朗日量定义为E上jet丛J上的函数。通过在拉格朗日量的纤维内进行勒让德变换，会得到一个时间上的对偶丛函数，其在t的纤维是余切空间T*Et。这个函数具有自然的辛形式，即哈密顿量。任何实值光滑函数H定义在辛流形上，便...
为什么拉格朗日量是动能减势能而非势能减动能 首先，最小作用量原理和最小势能原理是在说两个完全不同的事情的。所以不会矛盾。作用量是指物体运动或变形过程中，对（动能-势能）在整个路径中积分，这个积分显然与积分路径有关。而'最小'是指在所有可能路径（所有满足边界条件的）中，只有让这个量最小...
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