设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内，下证{Xn}必有收敛子列。取[a,b]的中点c，则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a1，b1]任取[a1，b1]中{Xn}的一项，设为y1 取[a1,b1]的中点c1，则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，...
所以度量空间上无穷项有界列不一定有收敛子列
在有限维空间中，有界序列一定有收敛子列。但这在无限维空间中不成立(取所有单位基就可以)。如果我们只要求这些序列在对偶空间(它是原空间的连续线性泛函组成的)作用下有”收敛“，(即f(x_n)—>f(x),对任意f属于X’)这个叫”弱收敛“，那么在一大类空间下我们都可以做到。
证明：设任意收敛子列的相同极限＝a。反证法，若该有界数列不收敛于a,设该数列为｛An}；则有存在小量e,对于任意正整数N，存在n,n>N;使得／An-a/>e。首先，取N=1;存在n1,使得／An1-a/>e；再取N=n1,存在n2,使得／An2-a/>e；依次类推，将得到一个子列｛Ani},每项满足／Ani-a/>e。...
设 An = {ai | i >= n}, n = 1,2 ,...。 An 是有界集，所以存在上确界bn，下确界cn。且有：c1 <... <cn <= c(n+1)< ... < b(n+1)<bn < ...< b1 于是 可设 cn ---> c, bn ---> b. c <= b 如果 c=b, an 收敛 与题设矛盾 于是 c < b an...
d_k]的区间长度是在以1/2的速度缩小的,由闭区间套定理（这证明就麻烦了,略）{c_k}与{d_k}将同时收敛于同一极限.记为y.最后,既然每一区间[c_k,d_k]都包含原数列的无穷多项,容易知道我们可以从中取出一子列{y_k}使得y_k在区间[c_k,d_k]中,再由极限夹逼性质得到{y_k}的极限即y.
如何证明有界点列有收敛子列 其中的点列是指在R^n中的点列。 一元微分中用的区间套定理能直接用在这个上面吗?... 一元微分中用的 区间套定理 能直接用在这个上面吗? 展开 我来答 1个回答 #热议# 《请回答2021》瓜分百万奖金 玄色龙眼
4、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。5、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）有界数列必有收敛子列。6、完备性（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
给定无穷数列（xn），它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。上下极限的一个定义过程，首先在散乱数列上定义出一个单调列，然后在单调列上定义极限，对于...
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