偶函数的周期性质

周期性：

1、周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2、最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

奇、偶函数的有关性质：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；

(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

（5）若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期

利用定义判断函数奇偶性的方法

(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；

(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．

判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

偶函数的周期性质

函数周期性的定义：

若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。偶函数亦如此。

偶函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。

(1) 周期函数的定义域一定是无限集

(2) 由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期

(3) 如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值。

(4) 如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期

(5) 如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期

(6) 周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数

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