二次函数a+b+c三者关系

二次函数抛物线，图像对称是关键。开口大小和方向，全部由a来决断，a正朝上负朝下绝对值越大口越小。对称轴很矫情，a、b合伙才能定， y轴作为参考线，同左异右定位置。y轴交点由c定，x轴作为参考线， c正在上负在下，c等于0过原点。 顶点坐标最重要一般式配方得到它，横坐标即对称轴，纵坐标恰好是最值。

现在我结合上面的口诀具体解释一下：

关于a：

a与二次函数图像的关系看两部分：符号和绝对值大小。

符号：“a正朝上负朝下”，正号(a>0)抛物线开口向上，负号(a<0)抛物线开口向下。反过来也可以根据抛物线的开口方向确定a的符号。

绝对值大小：“绝对值越大口越小”，a的绝对值越大，抛物线开口越小。a的绝对值越小，抛物线开口越大。反过来也可以根据抛物线的开口大小确定a的绝对值的大小。

关于b：

b不能单独判断，要与a结合判断，口诀中说“同左异右定位置”。同异是指a、b的符号是同号还是异号，左右是指抛物线对称轴在x轴的左右。如果a、b同号，则对称轴在y轴的左侧如果a、b异号，则对称轴在y轴的右侧。这里还可以补充一句“左同右异定符号”，就是说，如果对称轴在轴的左侧，则a、b同号如果对称轴在轴的右侧，则a、b异号。必须要得一提的是如果对称轴是y轴，则b=0 。

二次函数图像抛物线的对称轴为直线x= -b/2a .

补充一点：a、b结合还可以判断二次函数的增减性：

当a>0时，在对称轴左边(即当x<-b/2a时)，y随x的增大而减小在对称轴右边(即当x>-b/2a时)，y随x的增大而增大。

当a<0时，在对称轴左边(即当x<-b/2a时)，y随x的增大而增大在对称轴右边(即当x>-b/2a时)，y随x的增大而减小。

关于c：

c表示抛物线与y轴的交点的纵坐标，抛物线与y轴相交，图像过(0，c)点。“c正在上负在下”，如果c>0，抛物线与y轴的交点在轴的正半轴上如果c<0，抛物线与y轴的交点在轴的负半轴上“c等于0过原点”如果c=0，则抛物线经过原点。反过来，也可以用抛物线与y轴交点的位置来判断c的符号。

a、b、c结合起来判断抛物线与x轴交点的个数。Δ=b2-4ac，当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

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