椭圆参数方程

操作方法

参数方程由来：
圆的参数方程[特殊情形，圆心(0,0)，半径R]
{x=Rcosαy=Rsinα(α为参数，0≤α<2π)
其参数α的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角，如下图所示；

圆的参数方程[一般情形，圆心(m,n)，半径R]
{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α为参数，0≤α<2π)
注意：很多容易和极坐标的坐标(ρ,θ)中的θ混淆，如图所示，参数α=∠ACP；范围α∈[0,2π]

椭圆的参数方程
{x=acos?y=bsin?(?为参数，0≤?<2π)
其参数?的几何意义是对应的大圆或小圆半径的旋转角∠AOM，也就是椭圆的离心角．不是椭圆上动点和中心连线的旋转角∠AOP；切记！虽然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很显然这二者也是一一对应的，并且它们的范围都是[0，2π).

列子：已知椭圆的参数方程为{x=2costy=4sint (t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t=π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3–√。
分析：这个说法是错误的，怎么纠正呢？

当t=π3时，代入得到x=2cosπ3=1，y=2sinπ3=23–√，故M(1，23–√)，
则kOM=y?0x?0=23–√。

化为参数方程：
介绍一个容易记忆的方法：
类比：cos2θ+sin2θ=1
当圆为x2+y2=4时，先转换为(x2)2+(y2)2=1，
cos2θ+sin2θ=1
(x2)2+(y2)2=1
对应上式，得到cosθ=x2，sinθ=y2，
故圆的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ(θ为参数)；
当然，我们还可以这样交叉对应，
得到sinθ=x2，cosθ=y2，
故圆的参数方程还可以为{x=2sinθy=2cosθ(θ为参数)；

【说明】①由此说明，当我们取的参数不一样时，圆的参数方程是不一样的，
即圆的参数方程可能不唯一。两种参数的含义不一定一样。
②我们约定俗成的取法是第一种。
③参数方程的参数有时候有明确的几何意义，有时候没有。
当圆为(x?a)2+(y?b)2=R2时，
先转换为(x?aR)2+(y?bR)2=1，
对应上式，得到cosθ=x?aR，sinθ=y?bR，
故圆的参数方程为{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ为参数)；
当椭圆为x2a2+y2b2=1时，
先转化为(xa)2+(yb)2=1，
对应上式得到cosθ=xa，sinθ=yb，
故椭圆的参数方程为{x=acosθy=bsinθ(θ为参数)；

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